反比率函数与几何
1.如图
，反比率函数
（
）的图象经过点
，射线
与反比率函数图象交于另一点
，射线
与
轴交于点
，，
轴，垂足为
．
（1）求
的值；
（2）求
的值及直线的分析式；
（
3）如图2，
是线段上方反比率
函数图象上一动点，过作直线
轴，与相交于点
，连接
，求
面积的最大值．
分析：（1）
∵反比率函数（）的图象经过点
∴，∴
[来源:学§科§网]
（2）
∵点在反比率函数
的图象上[来源:学科网ZXXK]
∴，∴点
过作
于
，则
∴
∵，∴
∴
∴，∴
，∴
设直线的分析式为
∴解得
∴直线的分析式为
（3）设（
），则
则
∴
当
时，的面积有最大值，最大值为
2.如图，点
，
在反比率函数图象上，轴于点，轴于点，．
（1）求反比率函数的表达式；
（2）连接，在轴上是不是存在一点，使
的面积等于，若存在，求出点坐标；若没有，请说明理由．
分析：（1）由题意，得
解得
∴
，
设反比率函数的表达式为
将代入，得
∴反比率的表达式为
（2）
∵，，轴，轴
∴，，
∴，，
∵，∴在线段上和线段的延长线上必存在满足条件的点；在线段
的延长线上没有满足条件的点
设
①当点在线段上时
，
，∴
∴
②当点在线段的延长线上时
，
，∴
∴
综上所述，轴上存在点，使的面积等于，点坐标为，
3.如图，已知反比率函数
，是常数）的图象经过点和点，点的横坐标大于点的横坐标，轴，垂足为，
轴，垂足为，与
相交于点．
（1）若点的纵坐标为，点的横坐标为，
，求反比率函数的分析式；
（2）求证：
．
分析：（1）∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为
∵点的横坐标为，∴
∵反比率函数的图象经过点
∴，∴
∴反比率函数的分析式为
（2）设，
，其中
∴，，，
∴，
∴
又∵，∴
∴，∴
4.如图，直线与双曲线（，）交于点，将直线向上平移个单位长度后，与轴交于点，与双曲线（，）交于点，且
．
（1）求的值；
（2）连接，求四边形的面积．
分析：（1）
作轴于，交于，轴于
则
∵
，∴四边形是平行四边形
∴，
∵，∴
∴，
∵点在直线上，∴设
则，，∴
∵、两点在双曲线（，）上
∴
解得
（舍去）或
∴，
∴
（2）
5.如图，点在双曲线（）上，直线交双曲线（）于点，点的坐标为
，直线
交双曲线（）于点，直线交双曲线（）于点，直线交双曲线（）于点，连接、．
（1）求证：
；
（2）与是不是相等，请说明理由
（3）若，求点的坐标．
分析：（1）
设直线的分析式为
可得，
∴是的中点
同理可证是的中点
∴是的中位线
∴
（2）
当点在点下方时，点在点下方，连接
∵，∴
∵是的中点，∴
∴
当点在点上方时，点在点上方，连接BE
∵，∴
∵是的中点，∴
∴
（3）①当点A在点E下方时，点B在点D下方
∵，
∴
∴点的纵坐标是点纵坐标的倍
∴点的纵坐标是点纵坐标的倍
作于，于
则，∴
∴
设，则
∵，∴，
∴，解得
∴，∴
②当点在点上方时，点在点上方
∵，
∴
∴点的纵坐标是点纵坐标的倍
∴点的纵坐标是点纵坐标的倍
作于，于
则，∴
∴
设，则
∵，∴，
∴，解得
∴
，∴
综上所述，点的坐标为或
6.如图①，直角三角形中，，平行于x轴，，，反比率函数（）的图象经过点A．
（1）直接写出反比率函数的分析式；[来源:Zxxk.Com]
（2）如图②，在（1）中的反比率函数图象上，其中，连接，过作，且，连接．设点坐标为，其中，，求与的函数分析式，并直接写源于变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若Q坐标为，求的面积．
分析：
（1）
提示：设交轴于点，易证
由，，得，
∴，，
∴，∴
（2）作
轴于，轴于
则，
∵，∴
∴，∴
∴
∴，∴，
∴
∴（）
（3）
∵坐标为，∴，∴
[来源:学科网]
∴，，∴
∴
∴
7.如图，双曲线与两直线、（，且）分别相交于、、、四点．
（1）证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当为什么值时，平行四边形是矩形，请说明理由．
分析：
（1）
∵反比率函数的图象关于原点对称，过原点的直线也关于原点对称
∴
同理，
∴四边形是平行四边形
（2）当时，平行四边形是矩形
理由如下：
当时，
∴平行四边形是矩形
易得：，
由
得：
解得：，
∵，∴
∴当时，平行四边形是矩形
8.如图，一次函数（为常数，且）的图象与反比率函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移（）个单位长度后与反比率函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
分析：（1）∵点在反比率函数的图象上
∴，即点的坐标为
将点的坐标代入，得，解得
∴一次函数的表达式是
（2）直线向下平移个单位长度后的表达式为
联立
消去，整理得
∵平移后的直线与反比率函数的图象有且只有一个公共点
∴
解得或
9.如图，已知矩形的一个顶点的坐标是，反比率函数（）的图象经过矩形的对称中心，且与边交于点．
（1）求反比率函数的分析式和点的坐标；
（2）若过点的直线将矩形的面积分成的两部分，求此直线的分析式．
分析：
（1）
∵矩形的顶点的坐标是，是矩形的对称中心
∴点的坐标为
∵反比率函数（）的图象经过点
∴，∴
∴反比率函数的分析式为
∵点在边上，∴点的纵坐标为
∵反比率函数（）的图象经过点
∴，∴
∴点的坐标为
（2）
设直线与轴交于点
矩形的面积
∵直线将矩形的面积分成的两部分
∴
设，则或
解得或
∴点的坐标为或
∴解得
或解得
∴直线的分析式为或
10.如图，一次函数的图象l与坐标轴分别交于点、，与双曲线（）交于点，且是的中点．
（1）求直线的分析式；
（2）若直线与交于点，与双曲线交于点（不同于），问为什么值时，？
分析：
（1）
由在上，得，∴[来源:学科网]
∵为中点，∴，∴
又∵点、在上
∴
解得
∴直线的分析式为
（2）过作，垂足为点
∵，∴点为中点
由题意知，点纵坐标为，点纵坐标为，
点纵坐标为，
∴，解得，（舍去）
∴当时，
